y = sinx

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
D_f = R

Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) znajdują się w przedziale domkniętym [-1. 1]
f(X) = [-1, 1]

Funkcja sinus jest funkcją nieparzystą. Oznacza to, że dla każdej liczby z dziedziny tej funkcji sin(-x) = -sinx, oraz że wykres funkcji jest symetryczny względem punktu (0, 0).

Sinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2π. Wartości funkcji powtarzają się co 2π.

Miejscami zerowymi funkcji sinus są liczby postaci kπ, k∈Z

Znak funkcji sinus w I i II ćwiartce jest dodatni, w III i IV ujemny.

y = cosx

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
D_f = R

Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) znajdują się w przedziale domkniętym [-1. 1]
f(X) = [-1, 1]

Funkcja kosinus jest funkcją parzystą. Oznacza to, że dla każdej liczby z dziedziny tej funkcji cos(-x) = cosx, oraz że wykres funkcji jest symetryczny względem osi OY.

Kosinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2π. Wartości funkcji powtarzają się co 2π.

Miejscami zerowymi funkcji kosinus są liczby postaci $\frac{\pi }{2}+k\pi$, k∈Z

Znak funkcji kosinus w I i IV ćwiartce jest dodatni, w II i III ujemny.

y = tgx

Funkcja tangens jest określona dla liczb rzeczywistych różnych od liczb postaci
$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, k∈Z
W punktach tych znajdują się asymptoty pionowe wykresu tej funkcji.
$D_f=R\backslash \{x:x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in Z\}$,

Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) należą do zbioru liczb rzeczywistych
f(X) = R

Tangens jest funkcją nieparzystą. Oznacza to, że dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji, tg(-x) = -tgx.

Tangens jest funkcją okresową o okresie podstawowym π. Wartości funkcji powtarzają się co π.

Miejscami zerowymi funkcji tangens są liczby postaci kπ, k∈Z

Znak funkcji tangens w I i III ćwiartce jest dodatni, w II i IV ujemny.

y = ctgx

Funkcja kotangens jest określona dla liczb rzeczywistych różnych od liczb postaci
x ≠ kπ, k∈Z
W punktach tych znajdują się asymptoty pionowe wykresu tej funkcji.
D_f = R\ {x:x = kπ, k∈Z}

Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) należą do zbioru liczb rzeczywistych
f(X) = R

Kotangens jest funkcją nieparzystą. Oznacza to, że dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji, ctg(-x) = -ctgx.

Kotangens jest funkcją okresową o okresie podstawowym π. Wartości funkcji powtarzają się co π.

Miejscami zerowymi funkcji kotangens są liczby postaci $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, k∈Z

Znak funkcji kotangens w I i III ćwiartce jest dodatni, w II i IV ujemny.

Wzory redukcyjne

Wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta α możemy wyrazić za pomocą odpowiedniej funkcji trygonometrycznej kąta ostrego, korzystając z tzw. wzorów redukcyjnych.

Jeśli argument zmienia się nieparzystą wielokrotność kąta $\frac{\pi }{2}$, to funkcja przechodzi w kofunkcję (sinus w cosinus, cosinus w sinus, tangens w cotangens, cotangens w tangens). Ponieważ wszystie cztery funkcje trygonometryczne kąta ostrego są dodatnie, więc należy je poprzedzić odpowiednim znakiem, pisząc prawą stronę wzoru. Znak piszemy taki, jaki odpowiada funkcji trygonometrycznej kąta α występującej z lewej strony wzoru.

Tożsamości trygonometryczne

Poniższe wzory są prawdziwe dla dowolnych α i β. oprócz tych, dla których tgα, tgβ ctgα, ctgβ jest nieokreślony.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{\mathrm{ctg}\alpha }$
$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$
sin²α + cos²α = 1 (jedynka trygonometryczna)
tgα · ctgα = 1

Funkcje kąta podwójnego

sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1
tg2α = $\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }$
ctg2α = $\frac{{\mathrm{ctg}}^2\alpha -1}{2\mathrm{ctg}\alpha }$

Funkcje połowy kąta

$\sin \frac{\alpha }{2}=ą\sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$
$\cos \frac{\alpha }{2}=ą\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$
Znak + lub - wybieramy zależnie od tego, do której ćwiartki należy końcowe ramię kąta $\frac{\pi }{2}$.

$\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$
$\mathrm{ctg}\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }$

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ

tg(α + β) = $\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}\alpha ·\mathrm{tg}\beta }$
ctg(α + β) = $\frac{\mathrm{ctg}\alpha ·\mathrm{ctg}\beta -1}{\mathrm{ctg}\alpha +\mathrm{ctg}\beta }$
tg(α - β) = $\frac{\mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\beta }{1+\mathrm{tg}\alpha ·\mathrm{tg}\beta }$
ctg(α - β) = $\frac{\mathrm{ctg}\alpha ·\mathrm{ctg}\beta +1}{\mathrm{ctg}\alpha -\mathrm{ctg}\beta }$.

Suma i różnica funkcji trygonometrycznych

sinα + sinβ = $\mathrm{2sin}\frac{\alpha +\beta }{2}·\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$
cosα + cosβ = $\mathrm{2cos}\frac{\alpha +\beta }{2}·\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$
sinα - sinβ = $\mathrm{2sin}\frac{\alpha -\beta }{2}·\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$
cosα - cosβ = $-\mathrm{2sin}\frac{\alpha +\beta }{2}·\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

tgα + tgβ = $\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha ·\cos \beta }$
ctgα + ctgβ = $\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha ·\sin \beta }$
tgα - tgβ = $\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha ·\cos \beta }$
ctgα - ctgβ = $\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\sin \alpha ·\sin \beta }$