Funkcje trygonometryczne


Funkcja sinus
Funkcja kosinus
Funkcja tangens
Funkcja kotangens
Wartości funkcji trygonometrycznych
Wzory redukcyjne
Tożsamości trygonometryczne


Funkcje trygonometryczne to główne pojęcia trygonometrii. Istnieje sześć funkcji trygonometrycznych:

- sinus (czyt. sinus), symbol: sin
- cosinus (czyt. kosinus), symbol: cos
- tangens (czyt. tangens), symbol: tg, tan
- cotangens (czyt. kotangens), symbol: ctg, ctn
- secans (czyt. sekans), symbol: sec,
- cosecans (czyt. kosekans), symbol: cosec, csc

Niech α będzie miarą łukową kąta skierowanego. Umieśćmy go tak w układzie kartezjańskim, by jego wierzchołek znalazł się w początku układu, a ramię początkowe pokrywało się z osią OX.

interpretacja geometryczna

Na drugim ramieniu tego kąta wybieramy dowolny punkt P(a, b) różny od wierzchołka. Promień wodzący punktu P ma długość r= a2 + b2

Funkcje trygonometryczne określamy następująco:
sinα= br    cosα= ar    tgα= ba    ctgα= ab    secα= rb    cscα= ra

Stosunki, za pomocą których definiujemy te funkcje nie zmieniają się, jeśli punkt P porusza się wzdłuż ramienia, na którym został obrany.




Funkcja sinus

sinus

y = sinx


Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Df = R

Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) znajdują się w przedziale domkniętym [-1. 1]
f(X) = [-1, 1]

Funkcja sinus jest funkcją nieparzystą. Oznacza to, że dla każdej liczby z dziedziny tej funkcji sin(-x) = -sinx, oraz że wykres funkcji jest symetryczny względem punktu (0, 0).

Sinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2π. Wartości funkcji powtarzają się co 2π.

Miejscami zerowymi funkcji sinus są liczby postaci kπ, kZ

Znak funkcji sinus w I i II ćwiartce jest dodatni, w III i IV ujemny.

Powrót


Funkcja kosinus

kosinus

y = cosx


Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Df = R

Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) znajdują się w przedziale domkniętym [-1. 1]
f(X) = [-1, 1]

Funkcja kosinus jest funkcją parzystą. Oznacza to, że dla każdej liczby z dziedziny tej funkcji cos(-x) = cosx, oraz że wykres funkcji jest symetryczny względem osi OY.

Kosinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2π. Wartości funkcji powtarzają się co 2π.

Miejscami zerowymi funkcji kosinus są liczby postaci π2 + kπ , kZ

Znak funkcji kosinus w I i IV ćwiartce jest dodatni, w II i III ujemny.

Powrót


Funkcja tangens

tangens

y = tgx


Funkcja tangens jest określona dla liczb rzeczywistych różnych od liczb postaci
x π2 + kπ , kZ
W punktach tych znajdują się asymptoty pionowe wykresu tej funkcji.
Df = R\ { x: x= π2 + kπ ; kZ } ,

Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) należą do zbioru liczb rzeczywistych
f(X) = R

Tangens jest funkcją nieparzystą. Oznacza to, że dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji, tg(-x) = -tgx.

Tangens jest funkcją okresową o okresie podstawowym π. Wartości funkcji powtarzają się co π.

Miejscami zerowymi funkcji tangens są liczby postaci kπ, kZ

Znak funkcji tangens w I i III ćwiartce jest dodatni, w II i IV ujemny.

Powrót


Funkcja kotangens

kotangens

y = ctgx


Funkcja kotangens jest określona dla liczb rzeczywistych różnych od liczb postaci
xkπ, kZ
W punktach tych znajdują się asymptoty pionowe wykresu tej funkcji.
Df = R\ {x:x = kπ, kZ}

Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) należą do zbioru liczb rzeczywistych
f(X) = R

Kotangens jest funkcją nieparzystą. Oznacza to, że dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji, ctg(-x) = -ctgx.

Kotangens jest funkcją okresową o okresie podstawowym π. Wartości funkcji powtarzają się co π.

Miejscami zerowymi funkcji kotangens są liczby postaci x = π2 + kπ , kZ

Znak funkcji kotangens w I i III ćwiartce jest dodatni, w II i IV ujemny.




Wartości funkcji trygonometrycznych



Wartości funkcji trygonometrycznych dla pewnych kątów, które często występują w zadaniach


Powrót


Wzory redukcyjne

Wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta α możemy wyrazić za pomocą odpowiedniej funkcji trygonometrycznej kąta ostrego, korzystając z tzw. wzorów redukcyjnych.

Jeśli argument zmienia się nieparzystą wielokrotność kąta π2, to funkcja przechodzi w kofunkcję (sinus w cosinus, cosinus w sinus, tangens w cotangens, cotangens w tangens). Ponieważ wszystie cztery funkcje trygonometryczne kąta ostrego są dodatnie, więc należy je poprzedzić odpowiednim znakiem, pisząc prawą stronę wzoru. Znak piszemy taki, jaki odpowiada funkcji trygonometrycznej kąta α występującej z lewej strony wzoru.

Tabela wzorów redukcyjnych


Powrót


Tożsamości trygonometryczne

Poniższe wzory są prawdziwe dla dowolnych α i β. oprócz tych, dla których tgα, tgβ ctgα, ctgβ jest nieokreślony.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

tgα = sinαcosα = 1ctgα
ctgα = cosαsinα = 1tgα
sin2α + cos2α = 1 (jedynka trygonometryczna)
tgα · ctgα = 1

Funkcje kąta podwójnego

sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1
tg2α = 2 tgα 1 - tg 2 α
ctg2α = ctg 2 α - 1 2 ctgα

Funkcje połowy kąta

sin α 2 = ą 1-cosα 2
cos α 2 = ą 1+cosα 2
Znak + lub - wybieramy zależnie od tego, do której ćwiartki należy końcowe ramię kąta π2.

tg α 2 = 1-cosα sinα
ctg α 2 = 1+cosα sinα

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ

tg(α + β) = tgα + tgβ 1 - tgα · tgβ
ctg(α + β) = ctgα · ctgβ - 1 ctgα + ctgβ
tg(α - β) = tgα - tgβ 1 + tgα · tgβ
ctg(α - β) = ctgα · ctgβ + 1 ctgα - ctgβ .

Suma i różnica funkcji trygonometrycznych

sinα + sinβ = 2sin α + β 2 · cos α - β 2
cosα + cosβ = 2cos α + β 2 · cos α - β 2
sinα - sinβ = 2sin α - β 2 · cos α + β 2
cosα - cosβ = - 2sin α + β 2 · sin α - β 2

tgα + tgβ = sin ( α + β ) cos α · cos β
ctgα + ctgβ = sin ( α + β ) sin α · sin β
tgα - tgβ = sin ( α - β ) cos α · cos β
ctgα - ctgβ = sin ( α - β ) sin α · sin β

Powrót