Logo

Prosta i okrąg mogą znajdować się w różnych położeniach względem siebie:
1) prosta i okrąg mają tylko jeden punkt wspólny;
2) prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne;
3) prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

Styczna do okręgu to prosta, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem. Punkt ten nazywa się punktem styczności prostej i okręgu.

TWIERDZENIE

Prostą nazwiemy styczną do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy promień poprowadzony do punktu wspólnego okręgu i prostej jest do tej prostej prostopadły.


rysunek

TWIERDZENIE

Prostą nazwiemy styczną do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej równa jest promieniowi.

Z punktu leżącego na okręgu można poprowadzić tylko jedną styczną do tego okręgu. Z punktu, którego odległość od środka okręgu jest mniejsza od długości promienia, nie można poprowadzić żadnej stycznej do okręgu. Z punktu, którego odległość od środka okręgu jest większa od długości promienia tego okręgu, można poprowadzić dwie styczne.

rysunek

Proste AB i BC to styczne do okręgu o(O,r). Kąt wypukły ACB to kąt, pod którym widać okrąg o(O,r) z punktu C.

'Odcinki dwóch stycznych, które zostały poprowadzone do okręgu z punktu, którego odległość od środka tego okręgu jest większa od długości promienia - wyznaczone przez ten punkt i punkty styczności - są takiej samej długości. '

Założenie:
AK i BK - styczne do okręgu

rysunek

Teza:
|AK| = |BK|

Dowód:
Porównajmy trójkąty OKA i OKB:
|OA| = |OB| - promienie okręgu
OK - wspólny dla obu trójkątów
|∢OAK| = |∢OKB| = 90o
Z cech przystawania trójkątów prostokątnych wynika, że ∆OKA i ∆OBK są przystające, więc |AK| = |BK|.

Sieczna okręgu to prosta mająca dwa punkty wspólne z okręgiem.


TWIERDZENIE

Prostą nazwiemy sieczną okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy długość promienia okręgu jest większa niż odległość środka okręgu od tej prostej.


rysunek

Gdy prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem jest ona rozłączna z okręgiem.


TWIERDZENIE

O prostej powiemy, że jest rozłączna z okręgiem wtedy i tylko wtedy, gdy długość promienia okręgu jest mniejsza niż odległość środka okręgu od tej prostej.


rysunek


Barański & Mączka & Piotrowski