Logo

KĄT jest to suma dwóch półprostych o wspólnym początku i jednej z dwóch figur (zwanej wnętrzem kąta) wyciętych z płaszczyzny przez sumę tych półprostych.

rysunek

Półproste OA , OB to ramiona kąta, punkt O - wierzchołek kąta. Kąt AOB oznaczamy ∢AOB. Czasami stosować będziemy też oznaczenia :∢α, ∢β, ∢γ, ...

UWAGA: Półproste OA, OB wyznaczają dwa kąty: kąt wypukły AOB (zaznaczony kolorem różowym) i kąt wklęsły AOB (zaznaczony kolorem żółtym).

Jeżeli ramiona kąta się pokrywają, to otrzymujemy kąt pełny lub kąt zerowy. KĄT PEŁNY to płaszczyzna z wyróżnioną półprostą (rys.a); KĄT ZEROWY to wyróżniona półprosta na płaszczyźnie (rys. b).

rysunek

W celu łatwego porównania kątów wprowadza się ich miarę, nazywaną czasami rozwartością kąta. MIARA jest pewną funkcją, która kątowi (czyli figurze geometrycznej) przypisuje - charakteryzującą ten kąt - liczbę. Aby określić miarę danego kąta, należy najpierw zdefiniować kąt jednostkowy, a następnie określić, ile razy kąt jednostkowy mieści się w interesującym nas kącie. Otrzymana liczba jest miarą kąta. W gimnazjum poznajemy miarę stopniową. Jednostką w tej mierze jest kąt równy 1/360 kąta pełnego - jego miara wynosi 1° (1 stopień). Jeden stopień dzieli się na 60 minut (1° = 1'), a jedna minuta na 60 sekund (1'=60'').

KĄTEM PÓŁPEŁNYM nazywamy kąt, którego ramiona wzajemnie się dopełniają. Miara kąta półpełnego wynosi 180°.

rysunek

Dwa KĄTYPRZYLEGŁE, jeżeli mają jedno ramię wspólne, a dwa pozostałe ramiona się dopełniają. Suma kątów przyległych tworzy kąt półpełny, zatem suma ich miar wynosi 180 °.

rysunek

Jeżeli dwa kąty przyległe są równe, to każdy z nich nazywamy KĄTEM PROSTYM. Miara kąta prostego wynosi 90°. Na rysunkach kąt prosty oznaczamy symbolem rysunek lub rysunek.

Kąty dzielimy na:
a) WYPUKŁE (wnętrza tych kątów są figurami wypukłymi); miary ich wynoszą od 0° do 180°;
b) WKLĘSŁE (wnętrza tych kątów są figurami wklęsłymi); miary ich wynoszą od 180° do 360°.

Z kolei kąty wypukłe dzielimy na : kąty proste, KĄTY OSTRE (mniejsze od kąta prostego) i KĄTY ROZWARTE (większe od kąta prostego).

Dwa kąty wypukłe nazywamy KĄTAMI WIERZCHOŁKOWYMI, jeżeli ramiona jednego kąta są przedłużeniem ramion drugiego kąta. Kąty wierzchołkowe są równej miary.
rysunek

Na tym rysunku są pokazane dwie pary kątów wierzchołkowych: α1, α2 oraz β1, β2.

DWUSIECZNĄ KĄTA nazywamy półprostą o początku w wierzchołku kąta dzielącą kąt na dwa kąty równe.

rysunek

Na rysunku (a) pokazana jest dwusieczna kąta wypukłego, a na rysunku (b) - dwusieczna kąta wklęsłego. Dwusieczna kąta pełnego dzieli go na dwa kąty półpełne, dwusieczna kąta półpełnego dzieli go na dwa kąty proste.

'Dwusieczne kątów przyległych tworzą kąt prosty.'

Założenie:
∢AOB, ∢BOC - kąty przyległe,
OR - dwusieczna ∢AOB,
OS - dwusieczna ∢BOC.


rysunek

Teza:
|∢ROS| = 90°

Dowód:
|∢AOR| = |∢ROB| = α(OR z założenia jest dwusieczną ∢AOB),
stąd |∢AOB|=2α
Analogicznie |∢BOS| = |∢SOC| = β, więc |∢BOC|=2β. Zatem:
|∢ROS| = α + β
|∢AOB| + |∢BOC| = 2α + 2β
Ale ∢AOB i ∢BOC są przyległe, więc:
|∢AOB| + |∢BOC| = 180°
2α + 2 β = 180° |:2
α + β = 90 °
|∢ROS| = α + β = 90°.




Barański & Mączka & Piotrowski