Logo

WIELOKĄTEM nazywamy figurę ograniczoną wyciętą z płaszczyzny przez łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną.

rysunek

Rysunek (a) przedstawia wielokąt wypukły, rysunek (b) - wielokąt wklęsły. Wielokąt mający n boków nazywamy n-bokiem lub n-kątem. Przekątną wielokąta nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki wielokąta i nie będący bokiem.

'Liczba przekątnych w n-kącie (n>3) wyraża się wzorem ½n(n-3)'

Założenie:
n - liczba boków wielokąta, n>3.

rysunek

Teza:
½n(n-3)- liczba przekątnych.

Dowód:
Z wierzchołka A1 możemy poprowadzić n-3 przekątne (wszystkich wierzchołków jest n, a nie możemy poprowadzić przekątnych do wierzchołków A1, A2, An). Dalej postępujemy podobnie, tzn. z każdego następnego wierzchołka prowadzimy n-3 przekątne, zaznaczając je innym kolorem.

Wszystkich przekątnych jest zatem ½n(n-3), ponieważ mamy n wierzchołków, z każdego wychodzą n-3 przekątne i każda przekątna została zaznaczona dwoma kolorami, więc w iloczynie n(n-3) była liczona dwukrotnie.

KĄT WEWNĘTRZNY WIELOKĄTA WYPUKŁEGO to kąt, który zawiera dany wielokąt i w którego ramionach są zawarte dwa sąsiednie boki wielokąta, a wierzchołkiem jest punkt wspólny tych boków. Kąty wewnętrzne wielokąta będziemy czasem oznaczać pojedynczą literą, np. ∢A zamiast ∢FAB, ale tylko w takich sytuacjach gdy nie będzie to prowadzić do nieporozumień.

KĄT ZEWNĘTRZNY WIELOKĄTA WYPUKŁEGO to kąt przyległy do kąta wewnętrznego.

rysunek

Na rysunku kolorem zielonym zostały zaznaczone kąty wewnętrzne, a kolorem niebieskim - kąty zewnętrzne wielokąta. Każdy kat wewnętrzny wielokąta wypukłego jest kątem wypukłym.

WIELOKĄTEM FOREMNYM nazywamy taki wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty równe.

Wielokątem foremnym jest np. trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny:

rysunek

Przykład do wzoru na liczbę przekątnych w wielokącie:
W pewnym wielokącie liczba przekątnych jest równa liczbie jego boków. Jaki to wielokąt?
Wprowadźmy oznaczenia:
n - liczba boków szukanego wielokąta i n>3 .
Wiemy, że
½n(n-3) - liczba przekątnych szukanego wielokąta.
Z treści zadania wynika następująca równość:
½n(n-3) = n , skąd
n(n-3) = 2n
n(n-3) - 2n = 0
n2 - 3n - 2n = 0
n2 - 5n = 0
n(n-5) = 0
n = 0 ∨ n = 5 .
Rozwiązanie n = 0 nie spełnia założenia n > 3 .
Odp. Szukanym wielokątem jest pięciokąt.


Barański & Mączka & Piotrowski