Logo

Przecinając dwie proste k, l leżące na płaszczyźnie prostą m, otrzymamy osiem kątów:

rysunek

kąty 3 i 6 ∨ 4 i 5 - są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi,
kąty 1 i 8 ∨ 2 i 7 - są kątami naprzemianległymi zewnętrznymi,
kąty 1 i 5 ∨ 3 i 7 ∨ 2 i 6 ∨ 4 i 8 - kąty odpowiadające sobie,
kąty 3 i 5 ∨ 4 i 6 - kąty jednostronne wewnętrznie,
kąty 1 i 7 ∨ 2 i 8 - kąty jednostronne zewnętrznie.

'Jeżeli dwie proste tworzą z trzecią prostą kąty naprzemianległe wewnętrznie równe, to są do siebie równoległe.'

rysunek

Założenie:
α=β

Teza:
k || l.

Dowód (nie wprost):
Załóżmy, że proste k, l nie są równoległe i przecinają się w punkcie C, jak na poniższym rysunku.

rysunek

Wówczas otrzymalibyśmy trójkąt ABC. W tym trójkącie ∢β jest kątem zewnętrznym nieprzyległym do ∢α. Wobec tego β > α, co przeczy założeniu, że α i β są sobie równe. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że proste k i l są równoległe.


'Jeżeli dwie proste równoległe są przecięte trzecią prostą, to kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe.'

rysunek

Założenie:
k || l.

Teza:
α = β.

Dowód (nie wprost):
Załóżmy, że kąty α i β są różne. Odkładając od półprostej AB kąt α1 taki, że α1 = β otrzymalibyśmy prostą n, która też jest równoległa do prostej l. Przez punkt A przechodziłyby zatem dwie różne proste równoległe do prostej l - co, jak wiemy, jest niemożliwe, ponieważ przeczy to V aksjomatowi Euklidesa.


'Dwie proste leżące na płaszczyźnie przecięte trzecią są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe.'




Barański & Mączka & Piotrowski