Logo

'Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.'

rysunek

Założenie:
k, l, m - symetralne boków ∆ABC.

Teza:
k ∩ l ∩ m ∩ = {S}.

Dowód:
Symetralne k i l nie są równoległe (ponieważ odcinki BC i AC nie są równoległe), zatem się przecinają. Punkt przecięcia oznaczamy przez S. Wiemy, że symetralną tworzy zbiór punktów równoodległych od końców odpowiedniego odcinka. Z tego wynika, że:

|SB| = |SC| - bo S należy do symetralnej k,
|SA| = |SC| - bo S należy do symetralnej l, więc
|SB| = |SA|,

a to oznacza, że S należy również do symetralnej odcinka AB. Ostatecznie:

k ∩ l ∩ m = {S}.

Punkt przecięcia symetralnych jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie.
W trójkącie ostrokątnym symetralne przecinają się wewnątrz trójkąta. W trójkącie rozwartokątnym symetralne przecinają się po za trójkątem. W trójkącie prostokątnym symetralne przecinają się w połowie przeciwprostokątnej trójkąta.



Barański & Mączka & Piotrowski