Geodezja I– rachunek współrzędnych

Strona bierze udział w konkursie "Notatki w Internecie" organizowanym przez JM Rektora Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie.
G ł o s u j !

Powrót>>

Obliczenie azymutu na podstawie współrzędnych dwóch punktów

Azymut jest to kąt mierzony od kierunku północy (osi X) zgodnie z ruchem wskazówek zegara do kierunku linii. Zawsze ma dodatni znak oraz przyjmuje wartości z przedziału 0^g – 400^g.

Rys. 1. Azymuty i czwartaki w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych

Do obliczenia azymutu posługujemy się kierunkowym kątem pomocniczym zwanym czwartakiem, który może być zarówno dodatni, jak i ujemny (od -100^g do 100^g). Mierzymy go na prawo lub lewo od osi X, w zależności od ćwiartki układu współrzędnych. Na podstawie znaków przyrostów:

Δx = X_B – X_A, Δy = Y_B – Y_A

między dwoma danymi punktami A i B o znanych współrzędnych określamy ćwiartkę układu współrzędnych geodezyjnych, w jakiej znajduje się czwartak.

Rys. 2. Znaki przyrostów w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych

Na podstawie ćwiartki, gdzie znajduje się bok, dla którego obliczamy azymut, wybieramy odpowiedni wzór (indeks przy φ oznacza numer ćwiartki układu, w której znajduje się kąt):

A_AB = φ_I
A_AB = φ_II + 200^g,0000
A_AB = φ_III + 200^g,0000
A_AB = φ_IV + 400^g,0000

Następnie wyliczamy wartość czwartaka ze wzoru:

φ = arctg Δy Δx

i wstawiamy do jednego z podanych powyżej wzorów na azymut w danej ćwiartce układu.

Tabela 1. Określenie azymutu za pomocą znaków przyrostów

Azymut kierunku odwrotnego określamy na podstawie wzoru:

A_BA = A_AB ± 200^g,0000

Znak „+” stosujemy, gdy 0^g ≤ A_AB < 200^g, a „–”, gdy 200^g ≤ A_AB < 400^g, ponieważ, jak już wcześniej się dowiedzieliśmy, azymut przyjmuje wartości tylko z przedziału 0^g – 400^g.

Kontrolę obliczenia azymutu A_AB wykonujemy poprzez wyznaczenie pseudoczwartaka ψ oraz pseudoazymutu A_AB’ stosując wzory:

ψ = φ + 50^g,0000

tgψ = Δx + Δy Δx - Δy

A_AB' = A_AB + 50^g,0000

Przykład

Oblicz azymut boku AB oraz na jego podstawie oblicz azymut boku BA.

Dane:
A ( 902,58m; 479,65m)
B (537,78m; 23,53m)

ROZWIĄZANIE

Δx = X_B – X_A = –364,80m
Δy = Y_B – Y_A = –456,12m


φ = arctg Δy Δx


φ = arctg -456,12 -364,80

φ = 57^g,05283


Δx = –364,80m <0
Δy = –456,12m <0
Zatem czwartak leży w III ćwiartce, więc
A_AB=200^g,0000 + φ

A_AB=257^g,0528

A_BA= A_AB - 200^g,0000 = 57^g,0528


Kontrola
ψ = φ + 50^g,0000 = 307^g,05283

tgψ = Δx + Δy Δx - Δy ⇒ ψ = arctg Δx + Δy Δx - Δy


ψ = arctg- 364,80 - 456,12 - 364,80 + 456,12


ψ = –92^g,94717


Δx + Δy <0
Δx - Δy >0
Czwartak leży w IV ćwiartce


A_AB' = 400^g,0000 + ψ = 307^g,0528
A_AB' = A_AB + 50^g,0000 = 307^g,0528