Geodezja I– rachunek współrzędnych

Strona bierze udział w konkursie "Notatki w Internecie" organizowanym przez JM Rektora Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie.
G ł o s u j !

Powrót>>

Obliczanie współrzędnych punktów na domiarach prostokątnych

Metoda domiarów prostokątnych (rzędnych i odciętych) służy przede wszystkim do obliczana współrzędnych punktów z pomiarów sytuacyjnych.

Rys. 1. Szkic z pomiaru punktów metodą rzędnych i odciętych w lokalnym układzie współrzędnych (oś +l pokrywa się prostą AB, a oś +h jest do niej prostopadła i skierowana na prawo)

Szukane:
i (X_i, Y_i)
n (X_n, Y_n)


Dane:
A (X_A, Y_A)
B (X_B, Y_B)

Pomierzone:
d_ii'
d_nn'
l_Ai'
l_An'
l_AB


Zadanie obliczenia współrzędnych punktów na domiarach prostokątnych należy zacząć od wyznaczenia odległości ze współrzędnych między znanymi punktami A i B, ze wzoru: L_AB = √________ Δx² + Δy², gdzie Δx = X_B – X_A, Δy = Y_B – Y_A. Następnie pomiędzy długością pomierzoną l_AB, a wyliczoną ze współrzędnych L_AB obliczamy odchyłkę f, która musi spełniać kryterium podane w Instrukcji G-4 takie, że f ≤ f_l, przy czym f = Ιl_AB – L_ABΙ. Jeżeli nasza odchyłka mieści się w granicach dopuszczalnej, możemy przystąpić do dalszych rachunków.

Obliczając współrzędne punktu i, który znajduje się po prawej stronie, korzystamy ze wzorów:

X_i = X_A + Δx_Ai' – Δx_ii'
Y_i = Y_A + Δy_Ai' + Δy_ii',

gdzie:

Δx_Ai' = l_Ai'Δx l_AB


Δy_Ai' = l_Ai' Δy l_AB


Δx_ii' = d_ii'Δy l_AB


Δy_ii' = d_ii' Δx l_AB

Obliczając współrzędne punktu n znajdującego się po lewej stronie, korzystamy ze wzorów:

X_n = X_A + Δx_An' + Δx_nn'
Y_n = Y_A + Δy_An' – Δy_nn',

gdzie:

Δx_An' = l_An'Δx l_AB


Δy_An' = l_An' Δy l_AB


Δx_nn' = d_nn'Δy l_AB


Δy_nn' = d_nn' Δx l_AB

Kontrola obliczeń:
1) sprawdzenie, czy suma różnic odciętych Δl jest równa długości pomierzonej l_AB:

∑Δl = l_AB

2) sprawdzenie, czy suma różnic rzędnych Δd jest równa 0:

∑Δd = 0

3) obliczenie współrzędnych punku B z obliczonych współrzędnych punktów na domiarach prostokątnych:

X_B = X_i + Δx_Bi' + Δx_ii'
Y_B = Y_i + Δy_Bi' – Δy_ii',

gdzie:

Δx_Bi' = (l_AB – l_Ai')Δx l_AB


Δy_Bi' = (l_AB – l_Ai') Δy l_AB


Δx_ii' = d_ii'Δy l_AB


Δy_ii' = d_ii' Δx l_AB




X_B = X_n + Δx_Bn' – Δx_nn'
Y_B = Y_n + Δy_Bn' + Δy_nn',

gdzie:

Δx_Bn' = (l_AB – l_An')Δx l_AB


Δy_Bn' = (l_AB – l_An') Δy l_AB


Δx_nn' = d_nn'Δy l_AB


Δy_nn' = d_nn' Δx l_AB

Poniżej została przedstawiona tabela, która ułatwia wykonywanie kontroli sposobem 1) i 2).

Przykład

Oblicz współrzędne punktów 1, 2 i 3 na domiarach prostokątnych.

Dane:
A (212,31m; 588,23m)
B (291,32m; 712,21m)

Pomierzone:
d_11' = 32,32m
d_22' = 5,96m
d_33' = 8,78m
d_AB = 147,05m
d_A1' = -12,40m
d_A2' = 31,14m
d_A3' = 45,11m

ROZWIĄZANIE

Δx_AB = X_B – X_A = 79,01m
Δy_AB = Y_B – Y_A = 123,98m


L_AB = √____________ Δx_AB² + Δy_AB²


L_AB = √________________ 79,01² + 123,989²


D_AB = 147,02m


f = Ιl_AB – L_ABΙ = Ι147,05 – 147,02Ι = 0,03m
f_l = 0,07m

Warunek f ≤ f_l jest spełniony.



Obliczenie współrzędnych punktu 1

X₁ = X_A + Δx_A1' – Δx_11' = 212,31 + (-6,66) – 27,25 = 178,40m
Y₁ = Y_A + Δy_A1' + Δy_11', = 588,23 + (-10,45) + 17,37 = 595,15m

gdzie:

Δx_A1' = l_A1'Δx l_AB


Δx_A1' = -12,40 79,01 147,05


Δx_A1' = -6,66m


Δy_A1' = l_A1' Δy l_AB


Δy_A1' = -12,40 123,98 147,05


Δy_A1' = -10,45m


Δx_11' = d_11'Δy l_AB


Δx_11' = 32,32 123,98 147,05


Δx_11' = 27,25m


Δy_11' = d_11' Δx l_AB


Δy_11' = 32,32 79,01 147,05


Δy_11' = 17,37m




Obliczenie współrzędnych punktu 2

X₂ = X_A + Δx_A2' – Δx_22' = 212,31 + 16,73 – 5,02 = 224,02m
Y₂ = Y_A + Δy_A2' + Δy_22', = 588,23 + 26,25 + 3,20 = 617,68m

gdzie:

Δx_A2' = l_A2'Δx l_AB


Δx_A2' = 31,14 79,01 147,05


Δx_A2' = 16,73m


Δy_A2' = l_A2' Δy l_AB


Δy_A2' = 31,14 123,98 147,05


Δy_A2' = 26,25m


Δx_22' = d_22'Δy l_AB


Δx_22' = 5,96 123,98 147,05


Δx_22' = 5,02m


Δy_22' = d_22' Δx l_AB


Δy_22' = 5,96 79,01 147,05


Δy_22' = 3,20m




Obliczenie współrzędnych punktu 3

X₃ = X_A + Δx_A3' + Δx_33' = 212,31 + 24,24 + 7,40 = 243,95m
Y₃ = Y_A + Δy_A3' – Δy_33', = 588,23 + 38,03 – 4,72 = 617,68m

gdzie:

Δx_A3' = l_A3'Δx l_AB


Δx_A3' = 45,11 79,01 147,05


Δx_A3' = 24,24m


Δy_A3' = l_A3' Δy l_AB


Δy_A3' = 45,11 123,98 147,05


Δy_A3' = 38,03m


Δx_33' = d_33'Δy l_AB


Δx_33' = 8,78 123,98 147,05


Δx_33' = 7,40m


Δy_33' = d_33' Δx l_AB


Δy_33' = 8,78 79,01 147,05


Δy_33' = 4,72m

Kontrola

Numer punktu	Odcięte l	Rzędne d	Różnice odciętych Δl	Różnice rzędnych Δd
A	0,00	0,00	-12,40	32,32
1	-12,40	32,32	43,54	-26,36
2	31,14	5,96	13,97	-14,74
3	45,11	-8,78	101,94	8,78
B	147,05	0,00	147,05	0,00

Obliczenie współrzędnych punktu B ze współrzędnych punktu 1

X_B = X₁ + Δx_B1' + Δx_11' = 178,40 + 85,67 + 27,25 = 291,32m
Y_B = Y₁ + Δy_B1' – Δy_11', = 595,15 + 134,43 – 17,37 = 712,21m

gdzie:

Δx_B1' = (l_AB – l_A1')Δx l_AB


Δx_B1' = 159,45 79,01 147,05


Δx_B1' = 85,67m


Δy_B1' = (l_AB – l_A1') Δy l_AB


Δy_B1' = 159,45 123,98 147,05


Δy_B1' = 134,43m


Δx_11' = d_11'Δy l_AB


Δx_11' = 32,32 123,98 147,05


Δx_11' = 27,25m


Δy_11' = d_11' Δx l_AB


Δy_11' = 32,32 79,01 147,05


Δy_11' = 17,37m




Obliczenie współrzędnych punktu B ze współrzędnych punktu 2

X_B = X₂ + Δx_B2' + Δx_22' = 224,02 + 62,28 + 5,02 = 291,32m
Y_B = Y₂ + Δy_B2' – Δy_22', = 617,68 + 97,73 – 3,20 = 712,21m

gdzie:

Δx_B2' = (l_AB – l_A2')Δx l_AB


Δx_B2' = 115,91 79,01 147,05


Δx_B2' = 62,28m


Δy_B2' = (l_AB – l_A2') Δy l_AB


Δy_B2' = 115,91 123,98 147,05


Δy_B2' = 97,73m


Δx_22' = d_22'Δy l_AB


Δx_22' = 5,96 123,98 147,05


Δx_22' = 5,02m


Δy_22' = d_22' Δx l_AB


Δy_22' = 5,96 79,01 147,05


Δy_22' = 3,20m




Obliczenie współrzędnych punktu B ze współrzędnych punktu 3

X_B = X₃ + Δx_B3' – Δx_33' = 243,95 + 54,77 – 7,40 = 291,32m
Y_B = Y₃ + Δy_B3' + Δy_33', = 621,54 + 85,95 + 4,72 = 712,21m

gdzie:

Δx_B3' = (l_AB – l_A3')Δx l_AB


Δx_B3' = 101,94 79,01 147,05


Δx_B3' = 54,77m


Δy_B3' = (l_AB – l_A3') Δy l_AB


Δy_B3' = 101,94 123,98 147,05


Δy_B3' = 85,95m


Δx_33' = d_33'Δy l_AB


Δx_33' = 8,78 123,98 147,05


Δx_33' = 7,40m


Δy_33' = d_33' Δx l_AB


Δy_33' = 8,78 79,01 147,05


Δy_33' = 4,72m