Geodezja I– rachunek współrzędnych

Strona bierze udział w konkursie "Notatki w Internecie" organizowanym przez JM Rektora Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie.
G ł o s u j !

Powrót>>

Metoda analityczna obliczania pola powierzchni ze współrzędnych biegunowych

Obliczanie pola powierzchni ze współrzędnych biegunowych uzależnione jest od liczby stanowisk, z których dokonano pomiarów.

⇒ W przypadku jednego stanowiska do wyznaczenia pola powierzchni należy w terenie ze stanowiska nawiązać się do minimum dwóch punktów o znanych współrzędnych, pomierzyć długości oraz kierunki do punktów załamań konturu. Następnie trzeba wykonać redukcję pomierzonych kierunków*.

*Jeśli nie pamiętasz sposobu redukcji pomierzonych kierunków kliknij

Rys. 1. Rozmieszczenie punktów 1-2-3 załamania konturu w układzie współrzędnych

Szukane:
Pole P


Pomierzone
długości: d₁, d₂, d₃

Zredukowane
kierunki: k₁, k₂, k₃

Pole P wieloboku 1-2-3 obliczmy wzorem:

2P = ∑₁ⁿ d_id_i+1sin(k_i+1 – k_i)

gdzie:
n – ilość punktów załamania konturu,
i – numer punktu.

Kontrolą jest sprawdzenie, czy:
∑₁ⁿ (k_i+1 – k_i) = 0

Miary polowe podajemy w hektarach pamiętając, że 1ha = 100a = 10 000m².

Poniżej przedstawiona została tabela, która ułatwia wykonanie obliczeń pola powierzchni.

⇒ Jeżeli długości oraz kierunki do punktów załamań konturu zostały pomierzone z kilku stanowisk (Rys. 2.) to, aby obliczyć pole powierzchni wieloboku musimy znać współrzędne stanowisk. Dzięki temu wyliczmy współrzędne punktów załamania konturu:
X_i = X_S + d_icosA_Si
Y_i = Y_S + d_isinA_Si

Dalszy ciąg obliczeń wykonujemy wzorami Gaussa*.

*Jeśli nie pamiętasz sposobu obliczania pola powierzchni korzystając z wzorów Gauss'a kliknij

Rys. 2. Rozmieszczenie punktów 1-2-3-4-5-6 załamania konturu w układzie współrzędnych

Uwaga: Aby możliwe było obliczenie pola powierzchni ze współrzędnych biegunowych pomierzonych z kilku stanowisk, stanowiska te muszą znajdować się w jednym układzie współrzędnych.

Przykład

Oblicz pole powierzchni wieloboku 1-2-3-4.

Pomierzone długości:
d₁ = 123,32m
d₂ = 153,74m
d₃ = 147,35m
d₄ = 98,56m


Kierunki zredukowane:
k₁ = 40^g,0300
k₂ = 62^g,1193
k₃ = 89^g,2873
k₄ = 111^g,4289

ROZWIĄZANIE

Numer punktu	ki	di [m]	didi+1 [m2]	ki+1 – ki
1	40g,0300	123,32	18959,217	22g,0893
2	62g,1193	153,74	22653,589	27g,1680
3	89g,2873	147,35	14522,816	22g,1416
4	111g,4289	98,56	12154,419	-71g,3989
1	40g,0300	123,32	_	∑ = 0

2P = ∑₁ⁿ d_id_i+1sin(k_i+1 – k_i)

2P = 18959,217•sin(22^g,0893) + 22653,589•sin(27^g,1680) + 14522,816•sin(22^g,1416) + 12154,419•sin(–71^g,3989)

2P = 9825,466m²


P = 4912,73m² ≈ 49,13a ≈ 0,4913ha