Geodezja I– rachunek współrzędnych

Strona bierze udział w konkursie "Notatki w Internecie" organizowanym przez JM Rektora Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie.
G ł o s u j !

Powrót>>

Obliczanie ciągu poligonowego otwartego dwustronnie nawiązanego kątowo i liniowo - wyrównanie przybliżone
***Uzupełnienie o ciąg zamknięty

Ciąg poligonowy to konstrukcja geometryczna wykorzystywana do określania współrzędnych punktów w ciągu, w którym pomierzono boki oraz kąty.

Rys. 1. Ciąg poligonowy obustronnie dowiązany

Szukane:
1 (X₁, Y₁)
2 (X₂, Y₂)
3 (X₃, Y₃)


Dane:
A (X_A, Y_A)
B (X_B, Y_B)
C (X_C, Y_C)
D (X_D, Y_D)


Pomierzone
- kąty lewe: α₁, α₂, α₃, ..., α_n
lub
- kąty prawe: β₁, β₂, β₃, ..., β_n

- długości: d₁₂, d₂₃, ..., d_{n-1 - n}

1. W pierwszej kolejności ze znanych współrzędnych punktów nawiązania wyznaczamy azymut* początkowy A₀ oraz azymut* końcowy A_k ciągu.

*Jeśli nie pamiętasz sposobu obliczania azymutu ze współrzędnych dwóch punktów kliknij



2. Wyliczamy sumę praktyczną kątów ∑α_p (lub ∑β_p), którą stanowi suma pomierzonych kątów oraz sumę teoretyczną:

dla kątów lewych: ∑α_t = A_k – A₀ + n•200^g,0000
dla kątów prawych: ∑β_t = A₀ – A_k + n•200^g,0000

gdzie n – liczba kątów w ciągu.


***W ciągu zamkniętym:
- dla kątów wewnętrznych: ∑α_t = (n-2)•200^g,0000
- dla kątów zewnętrznych: ∑β_t = (n+2)•200^g,0000



3. Na podstawie sumy praktycznej oraz teoretycznej kątów obliczamy odchyłkę kątową:

f_α = ∑α_p – ∑α_t
f_β = ∑β_p – ∑β_t

Sprawdzamy, czy spełnia ona warunek f ≤ f_dop, gdzie f_dop= m₀√_ n_k. Przykładowe wartości f_dop są stabelaryzowane w Instrukcji technicznej G-4, zał.2.



4. Po ocenie poprawności powyższego warunku, przechodzimy do obliczenia poprawek dla poszczególnych kątów:

v_αi = – f_α n


v_βi = – f_β n

Suma poprawek kątowych musi być równa odchyłce kątowej co do wartości bezwzględnej.



5. Następnie wyrównujemy pomierzone kąty:

_ α_i = α_i + v_αi

_ β_i = β_i + v_βi

6. Wychodząc od azymutu początkowego ciągu A₀ obliczamy wyrównane azymuty dla każdego kolejnego boku:

A_i = A_i-1 + _ α_i – 200^g,0000

A_i = A_i-1 – _ β_i + 200^g,0000

Azymut wyrównany dla ostatniego boku powinien być równy azymutowi końcowemu ciągu A_k.



7. Mając wyrównane azymuty A_i obliczamy przyrosty współrzędnych:

Δx_i = d_icosA_i
Δy_i = d_isinA_i

8. Sumujemy otrzymane przyrosty, dzięki czemu otrzymujemy praktyczną sumę przyrostów ∑Δx_p, ∑Δy_p. Teoretyczna suma przyrostów wyliczona jest ze współrzędnych punktu początkowego i końcowego ciągu:

∑ΔX_t = X_C – X_B
∑ΔY_t = Y_C – Y_B

***W ciągu zamkniętym: ∑ΔX_t= 0 oraz ∑ΔY_t= 0.



9. Określamy odchyłki dla przyrostów:

f_x = ∑Δx_p – ∑ΔX_t
f_y = ∑Δy_p – ∑ΔY_t

oraz odchyłkę liniową ciągu:

f_L = √_________ f_x² + f_y²

Sprawdzamy warunek f_L ≤ f_Ldop,
gdzie
f_Ldop =√_____________________________ u²L+(m₀/ρ)²(n+1)(n+2)(L²/12n)+c²

Przykładowe wartości f_Ldop są stabelaryzowane w Instrukcji technicznej G-4, zał.3.


***W ciągu zamkniętym: f_x= ∑ΔX_p oraz f_y= ∑ΔY_p.



10. Dodajemy poprawkę dla każdego przyrostu, która jest wyrażona za pomocą wzoru:

v_xi = – f_x d_i d


v_yi = – f_y d_i d

Sprawdzamy, czy: Σv_xi = – f_x , Σv_yi= – f_y.

Otrzymujemy wyrównane przyrosty:

__ ΔX_i = Δx_i + v_xi

__ ΔY_i = Δy_i + v_yi

11. Obliczmy wyrównane współrzędne szukanych punktów:

_ X_i = X_i-1 + __ ΔX_i

_ Y_i = Y_i-1 + __ ΔY_i

12. Wykonujemy kontrolę obliczeń:

_ X_n = X_n-1 + __ ΔX_n = X_n

_ Y_n = Y_n-1 + __ ΔY_n = Y_n

Przykład

Oblicz współrzędne punktów 2 i 3 mając dane współrzędne punktów A, B, C i 1.

Dane:
A (100,00m, 100,00m),
B (300,00m, 600,00m),
C (250,00m, 750,00m),
1 (50,00m, 200,00m);

Pomierzone
- kąty:
α₁ = 110^g,0600,
α₂ = 230^g,4000,
α₃ = 210^g,5006,
α₄ = 240^g,0000;

- długości:
d₁₂=155,00m,
d₂₃=150,00m,
d_3B=185,00m;

ROZWIĄZANIE

Δx_A1 = X₁ – X_A = -50,00m
Δy_A1 = Y₁ – Y_A = 100,00m


φ_A1 = arctg Δy_AB Δx_AB


φ_A1 = arctg 100,00 -50,00

φ_A1 = -70^g,48328


Δx_A1 = -50,00m <0
Δy_A1 = 100,00m >0
Zatem czwartak leży w II ćwiartce, więc A_A1 = 200^g,0000 + φ_A1

A_A1 = 200^g,0000 + (-70^g,48328) = 129^g,51672



Δx_BC = X_C – X_B = -50,00m
Δy_BC = Y_C – Y_B = 150,00m


φ_BC = arctg Δy_BC Δx_BC


φ_BC = arctg 150,00 -50,00

φ_BC = -79^g,51672


Δx_BC = -50,00m <0
Δy_BC = 150,00m >0
Zatem czwartak leży w II ćwiartce, więc A_BC = 200^g,0000 + φ_BC

A_BC = 200^g,0000 + (-79^g,51672) = 120^g,48328



∑α_p = α₁ + α₂ + α₃ + α₄ = 790^g,96060

∑α_t = A_BC – A_A1 + 4•200^g,0000 = 790^g,96656
f_α = ∑α_p – ∑α_t = -59^cc,6
f_dop = ± 360^cc
Warunek f ≤ f_dop jest spełniony.



v_αi = – f_α n


v_αi = – -59^cc,6 4

v_αi = 14^cc,9


v_α1 = 14^cc,9
v_α2 = 14^cc,9
v_α3 = 14^cc,9
v_α4 = 14^cc,9
∑v_αi = -59^cc,6 = -f_α


_ α₁ = α₁ + v_α1 = 110^g,06149
_ α₂ = α₂ + v_α2 = 230^g,40149
_ α₃ = α₃ + v_α3 = 210^g,50209
_ α₄ = α₄ + v_α4 = 240^g,00149


A₁ = A_A1 + _ α₁ – 200^g,0000 = 39^g,57821
A₂ = A₁ + _ α₂ – 200^g,0000 = 69^g,97970
A₃ = A₂ + _ α₃ – 200^g,0000 = 80^g,48179
A_BC = A₃ + _ α₄ – 200^g,0000 = 120^g,48328


ΔX₁₂ = d₁₂cosA₁ = 125,999m
ΔY₁₂ = d₁₂sinA₁ = 90,274m
ΔX₂₃ = d₂₃cosA₂ = 68,141m
ΔY₂₃ = d₂₃sinA₂ = 133,629m
ΔX_3B = d_3BcosA₃ = 55,835m
ΔY_3B = d_3BsinA₃ = 176,373m


∑ΔX_p = 249,975m
∑ΔY_p = 400,276m


∑ΔX_t = X_B – X₁ = 250,000m
∑ΔY_t = Y_B – Y₁ = 400,000m


f_x = ∑ΔX_p – ∑ΔX_t = -0,025m
f_y = ∑ΔY_p – ∑ΔY_t = 0,276m


f_L = √_________ f_x² + f_y²

f_L = √________________ (-0,025)² + 0,276²

f_L = 0,277m


f_Ldop = 0,170m

Za odchyłkę liniową przyjmujemy podwójną wartość dopuszczalnej odchyłki liniowej stabelaryzowanej w Instrukcji technicznej G-4, zał.3.


d = d₁₂ + d₂₃ + d_3B = 490,000m



v_x12 = – f_x d₁₂ d


v_y12 = – f_yd₁₂ d


v_x23 = – f_xd₂₃ d


v_y23 = – f_y d₂₃ d


v_x3B = – f_x d_3B d


v_y3B = – f_y d_3B d


∑v_xi = 0,025m = -f_x
∑v_y;i = -0,276m = -f_y



__ ΔX₁₂ = X₁₂ + v_x12 = 126,007m

__ ΔY₁₂ = Y₁₂ + v_y12 = 90,187m

__ ΔX₂₃ = X₂₃ + v_x23 = 68,149m

__ ΔY₂₃ = Y₂₃ + v_y23 = 133,544m

__ ΔX_3B = X_3B + v_x3B = 55,844m

__ ΔY_3B = Y_3B + v_y3B = 176,269m



_ X₂ = X₁ + __ ΔX₁₂= 176,007m

_ Y₂ = Y₁ + __ ΔY₁₂= 290,187m

_ X₃ = X₂ + __ ΔX₂₃= 244,156m

_ Y₃ = Y₂ + __ ΔY₂₃= 423,731m

_ X_B = X₃ + __ ΔX_3B= 300,000m = X_B

_ Y_B = Y₃ + __ ΔY_3B= 600,000m = Y_B