Geodezja I– rachunek współrzędnych

Strona bierze udział w konkursie "Notatki w Internecie" organizowanym przez JM Rektora Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie.
G ł o s u j !

Powrót>>

Obliczanie współrzędnych punktów metodą biegunową

Metoda biegunowa stanowi jedną z podstawowych i powszechnie stosowanych metod pomiaru szczegółów sytuacyjnych. W nawiązaniu do dwóch punktów osnowy A i B oraz pomierzonych kierunków do tych punktów i do punktu P możemy wyznaczać współrzędne punktu P.

Rys. 1. Rozmieszczenie punktów w układzie współrzędnych

Szukane:
P (X_P, Y_P)


Dane:
A (X_A, Y_A)
B (X_B, Y_B)
S (X_S, Y_S)

Pomierzone:
kierunki: k_A,k_B, k_P,
długości: d_SP


Chcąc nawiązać się do dwóch punktów osnowy A i B należy obliczyć kąt orientacji kreski 0˚ podziału limbusa w następujący sposób:

γ' = A_SA − k_A
γ" = A_SB − k_B

gdzie A_SA, A_SB - azymuty* boków SA i SB.
*Jeśli nie pamiętasz sposobu obliczania azymutu ze współrzędnych dwóch punktów kliknij

Sprawdzamy, czy odchyłka między kątami γ' i γ" mieści w granicy odchyłki dopuszczalnej f_γ = 2m₀√_ 2:
Ιγ' – γ"Ι ≤ f_γ

Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, wówczas:

γ = γ' + γ" 2

Obliczamy azymut boku SP ze wzoru:

A_SP = k_P + γ

oraz przyrosty na podstawie długości pomierzonej oraz azymutu boku SP:

Δx_SP = d_SPcosA_SP
Δy_SP = d_SPsinA_SP

Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:

X_P = X_S + Δx_SP
Y_P = Y_S + Δy_SP

Kontrola obliczeń:
Porównanie długości pomierzonej d_SP z wyliczoną
D_SP = √__________________ (X_P − X_S)² + (Y_P − Y_S)²

Przykład

Oblicz współrzędne punku P metodą biegunową.

Dane:
A (1400,34m; 1398,22m)
B (534,15m; 1729,04m)
S (535,40m; 681,72m)

Pomierzone
kierunki:
k_A = 23^g,2719 ± 2^cc
k_B = 79^g,3064 ± 2^cc
k_P = 64^g,7378 ± 2^cc

długości:
d_SP = 341,43m

ROZWIĄZANIE

Δx_SA = X_A – X_S = 864,94m
Δy_SA = Y_A – Y_S = 716,50m


d_SA = √____________ Δx_SA² + Δy_SA²


d_SA = √________________ 864,94² + 716,50²


d_SA = 1123,16m



φ_SA = arctg Δy_SA Δx_SA


φ_SA = arctg 716,50 864,94

φ_SA = 44^g,04190


Δx_SA = 864,94m >0
Δy_SA = 716,50m >0
Zatem czwartak leży w I ćwiartce, więc A_SA = φ_SA

A_SA = 44^g,04190



Δx_SB = X_B – X_S = -1,25m
Δy_SB = Y_B – Y_S = 1047,32m


d_SB = √____________ Δx_SB² + Δy_SB²


d_SB = √________________ (-1,25)² + 1047,32²


d_SB = 1047,32m



φ_SB = arctg Δy_SB Δx_SB



φ_SB = arctg 1047,32 -1,25

φ_SB = -99^g,92402


Δx_SB = -1,25m <0
Δy_SB = 1047,32m >0
Zatem czwartak leży w II ćwiartce, więc A_SB=200^g,0000 + φ_SB

A_SB = 200^g,0000 + (-99^g,92402) = 100^g,07598


γ' = A_SA − k_A = 44^g,04190 – 23^g,2719 = 20^g,77000
γ" = A_SB − k_B = 100^g,07598 – 79^g,3064 = 20^g,76958

f_γ = 2m₀√_ 2= 5^cc,7
Ι 20^g,77000 – 20^g,76958Ι = 4^cc,2 ≤ f_γ

Powyższy warunek jest spełniony, zatem:

γ = γ' + γ" 2

γ = 20^g,77000 + 20^g,76958 2

γ = 20^g,76979


A_SP = k_P + γ = 64^g,7378 + 20^g,76979 = 85^g,50759

Δx_SP = d_SPcosA_SP = 341,43• cos(85^g,50759) = 77,056m
Δy_SP = d_SPsinA_SP = 341,43• sin(85^g,50759) = 332,621m


Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:
X_P = X_S + Δx_SP = 535,40 + 77,056 = 612,456m = 612,46
Y_P = Y_S + Δy_SP = 681,72 + 332,621 = 1014,341m = 1014,34


Kontrola

D_SP = √__________________ (X_P − X_S)² + (Y_P − Y_S)²

D_SP = 341,43m = d_SP