Geodezja I– rachunek współrzędnych

Strona bierze udział w konkursie "Notatki w Internecie" organizowanym przez JM Rektora Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie.
G ł o s u j !

Powrót>>

Obliczanie współrzędnych punktów na prostej

Punkty na prostej są to punkty osnowy pomiarowej, wytyczone na prostej między punktami A i B o znanych współrzędnych.

Rys. 1. Punkt posiłkowy n na prostej AB

Szukane:
n (X_n, Y_n)


Dane:
A (X_A, Y_A)
B (X_B, Y_B)

Pomierzone:
d_An
d_AB


Zadanie obliczenia współrzędnych punktów posiłkowych na prostej należy zacząć od wyznaczenia odległości ze współrzędnych między punktami A i B, ze wzoru: D_AB = √________ Δx² + Δy², gdzie Δx = X_B – X_A, Δy = Y_B – Y_A. Następnie pomiędzy długością pomierzoną d_AB, a wyliczoną ze współrzędnych D_AB obliczamy odchyłkę f, która musi spełniać kryterium podane w Instrukcji G-4 takie, że f ≤ f_l, przy czym f = Ιd_AB – D_ABΙ. Jeżeli nasza odchyłka mieści się w granicach dopuszczalnej, możemy przystąpić do dalszych rachunków.

Obliczamy przyrosty:

Δx_An = d_AnΔx d_AB


Δy_An = d_An Δy d_AB

Współrzędne punktu posiłkowego leżącego na prostej wynoszą zatem:

X_n = X_A + Δx_An
Y_n = Y_A + Δy_An

Kontrola obliczeń:
1) ponowne obliczenie współrzędnych punktu n na prostej, wykorzystując tym razem dane współrzędne punktu B;
2) sprawdzenie, czy suma różnic odciętych Δd jest równa długości pomierzonej d_AB:

∑Δd_i = d_AB

gdzie Δd_i = d_i – d_i-1.

Przykład

Oblicz współrzędne punktu posiłkowego n znajdującego się na prostej AB.

Dane:
A ( 623,33m; 740,87m)
B ( 729,65m; 973,56m)

Pomierzone:
d_An = 83,89m
d_AB = 255,85m

ROZWIĄZANIE

Δx_AB = X_B – X_A = 106,32m
Δy_AB = Y_B – Y_A = 232,69m


D_AB = √____________ Δx_AB² + Δy_AB²


D_AB = √________________ 106,32² + 232,69²


D_AB = 255,83m


f = Ιd_AB – D_ABΙ = Ι255,85 – 255,83Ι = 0,02m
f_l = 0,09m

Warunek f ≤ f_l jest spełniony.



Δx_An = d_AnΔx_AB d_AB

Δx_An = 34,86m


Δy_An = d_An Δy_AB d_AB


Δy_An = 76,30m


X_n = X_A + Δx_An = 623,33 + 34,86 = 658,19m
Y_n = Y_A + Δy_An = 740,87 + 76,20 = 817,17m

Kontrola

1) Δx_BA = X_A – X_B = –106,32m
Δy_BA = Y_A – Y_B = –232,69m


D_AB = √____________ Δx_BA² + Δy_BA²


D_AB = √____________________ (–106,32)² + (–232,69)²


D_AB = 255,83m


f = Ιd_AB – D_ABΙ = Ι255,85 – 255,83Ι = 0,02m
f_l = 0,09m

Warunek f ≤ f_l jest spełniony.

d_nB =d_AB – d_An = 171,96m


Δx_nB = d_nBΔx_AB d_AB

Δx_nB = – 71,96m


Δy_nB = d_nB Δy_AB d_AB


Δy_nB = – 156,41m


X_n = X_B + Δx_nB = 729,65 – 71,96 = 658,19m
Y_n = Y_B + Δy_nB = 973,56 – 156,41 = 817,17m



2) Δd_An = 83,89m
Δd_nB = 171,96m

∑Δd_i = 83,89 + 171,96 = 255,85
Zatem: ∑Δd_i = d_AB