Geodezja I– rachunek współrzędnych

Strona bierze udział w konkursie "Notatki w Internecie" organizowanym przez JM Rektora Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie.
G ł o s u j !

Powrót>>

Obliczenie współrzędnych punktu za pomocą wcięcia liniowego

Rys. 1. Wcięcie liniowe w układzie współrzędnych

Szukane:
P (X_P, Y_P)


Dane:
A (X_A, Y_A)
B (X_B, Y_B)

Pomierzone:
d_AP, d_BP

Chcąc obliczyć współrzędne punktu P na podstawie współrzędnych dwóch punktów A i B oraz pomierzonych długości boków AP oraz BP wykorzystujemy metodę wcięcia liniowego. W pierwszej kolejności wykonujemy szkic umieszczając punktu w układzie współrzędnych (Rys.1.).
Obliczamy przyrosty Δx_AB = X_B – X_A, Δy_AB = Y_B – Y_A, które są niezbędne do wyznaczenia azymutu* A_AB oraz długości* boku AB:
D_AB = √____________ Δx_AB² + Δy_AB²

*Jeśli nie pamiętasz
- sposobu obliczania długości ze współrzędnych kliknij
- sposobu obliczania azymutu ze współrzędnych dwóch punktów kliknij



Do obliczenia kątów α, β i γ w trójkącie ABP korzystamy z twierdzenia cosinusów:

D_AB² = d_AP² + d_BP² –2d_APd_BPcosγ ⇒ γ = arccos D_AB² –(d_AP² + d_BP²) –2d_APd_BP


d_AP² = D_AB² + d_BP² –2D_ABd_BPcosβ ⇒ β = arccos d_AP² – (D_AB² + d_BP²) –2D_ABd_BP


d_BP² = d_AP² + D_AB² – 2d_APD_ABcosα ⇒ α = arccos d_BP² – (d_AP² + D_AB²) –2d_APD_AB

Sprawdzamy, czy suma wyliczonych kątów jest równa 200^g,0000.


W dalszej części obliczeń postępujemy tak, jak przy wcięciu kątowym w przód.

Wyliczamy azymut boku AP:

A_AP = A_AB –α

oraz przyrosty na podstawie długości oraz azymutu boku AP:

Δx_AP = d_APcosA_AP
Δy_AP = d_APsinA_AP

Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:

X_P = X_A + Δx_AP
Y_P = Y_A + Δy_AP

Kontrolą obliczeń jest ponowne wyliczenie współrzędnych punktu P na podstawie punktu B i porównanie ich ze współrzędnymi punktu P obliczonymi na podstawie punktu A.

Wyliczamy azymut boku BP:
A_BP = A_AB + β

oraz przyrosty na podstawie długości oraz azymutu boku BP:
Δx_BP = d_BPcosA_BP
Δy_BP = d_BPsinA_BP


Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:
X_P = X_B + Δx_AB
Y_P = Y_B + Δy_AB

Przykład

Oblicz współrzędne punktu P metodą wcięcia liniowego.

Dane:
A (100,00m; 100,00m)
B (100,00m; 300,00m)

Pomierzone:
d_AP = 100,00m
d_BP = 173,21m

ROZWIĄZANIE

Δx_AB = X_B – X_A = 0,00m
Δy_AB = Y_B – Y_A = 200,00m

D_AB = √____________ Δx_AB² + Δy_AB²

D_AB = √________________ 0,00² + 200,00²

D_AB = 200,00m


Jeśli Δx_AB = 0 oraz Δy_AB > 0, wówczas A_AB = 100^g,0000



γ = arctg D_AB² –(d_AP² + d_BP²) –2d_APd_BP



γ = arctg 200,00² –(100,00² + 173,21²) –2•100,00•173,21



γ = 99^g,99687



β = arctg d_AP² –(D_AB² + d_BP²) –2D_ABd_BP



β = arctg 100,00² –(200,00² + 173,21²) –2•200,00•173,21



β = 33^g,33333



α = arctg d_BP² –(d_AP² + D_AB²) –2d_APD_AB


α = arctg 173,21² –(100,00² + 200,00²) –2•100,00•200,00


α = 66^g,66980



α + β + γ = 66^g,66980 + 33^g,33333 + 99^g,99687 = 200^g,0000



A_AP = A_AB –α = 100^g,00000 –66^g,66980 = 33^g,33020


Δx_AP = d_APcosA_AP = 100,00•cos(33^g,33020) = 86,605m
Δy_AP = d_APsinA_AP = 100,00•sin(33^g,33020) = 49,996m


Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:
X_P = X_A + Δx_AP = 100,00 + 86,605 = 186,605m = 186,60m
Y_P = Y_A + Δy_AP = 100,00 + 49,996 = 149,996m = 150,00m



Kontrola
A_BA = A_AB + 200^g,00000 = 300^g,00000


A_BP = A_BA + β = 300^g,00000 + 33^g,33333 = 333^g,33333


Δx_BP = d_BPcosA_BP = 173,21•cos(333^g,33333) = 86,605m
Δy_BP = d_BPsinA_BP = 173,21•sin(333^g,33333) = -150,004m


Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:
X_P = X_B + Δx_BP = 100,00 + 86,605 = 186,605m = 186,60m
Y_P = Y_B + Δy_BP = 300,00 + (-150,004) = 149,996m = 150,00m