Podstawowa koncepcja DSP
Poniższe wyprowadzenia wzorów nie są konieczne do zrozumienia DFT, jednak te kilka minut, które tu spędzisz sprawi, że łatwiej będzie Ci zrozumieć na czym ona polega.
Korzystając z metod DSP zakładamy, że sygnał składa się z jakiejś liczby prostszych składowych. Z uwagi na swoje szczególne cechy funkcja sinus zajmuje w DSP bardzo wysoką pozycję.
Dla nas ważne jest, że przy przejściu przez układ może zmienić się faza lub amplituda, ale częstotliwość przebiegu sinusoidalnego na wyjściu będzie taka sama jak na wejściu. To właśnie czętotliwość najczęściej jest istotą informacji w sygnale, a sinusoida jest jedynym przebiegiem mającym wspomnianą wcześniej własność.
Składowe sygnału nazywamy harmonicznymi. Pierwsza składowa, nazywana też składową podstawową, ma częstotliwość równą częstotliwości analizowanego sygnału okresowego. Natomiast częstotliwości pozostałych harmonicznych są jej całkowitymi wielokrotnościami.
Matematycznie sygnał możemy więc zapisać tak:
Każda z N składowych sygnału ma częstotliwość będącą całkowitą wielokrotnością częstotliwości podstawowej (oznaczonej literką omega).
Dotychczas zakładaliśmy, że wszystkie składowe mają jednakową amplitudę, ale przecież może ona być różna od jeden. W takim wypadku musimy uwzględnić dodatkowy czynnik odpowiadający za amplitudę i teraz nasz wzór wygląda tak:
Sygnały, które możesz wygenerować uwzględniając zmiany amplitudy mają znacznie ciekawsze przebiegi. Przekonaj się sam! Stwórz sygnał składający się z czeterech przebiegów sinusoidalnych różniących się częstotliwością i amplitudą.
Literką 'f' zostały oznaczone częstotliwości kolejnych składowych. 'A' to oczywiście poszczególne amplitudy.
Ostatnią rzeczą, którą musimy uwzględnić jest składowa stała. Dzięki niej nasz wykres przesunięty jest wzdłuż osi y. Obecność składowej stałej zwykle wynika z kalibracji urządzeń pomiarowych.
W ten oto sposób otrzymaliśmy równanie zwane szeregiem Fouriera. Odtąd możemy rozłożyć funkcje okresowe spełniające pewne warunki na sumę funkcji trygonometrycznych.
Równanie to możemy zapisać na kilka równoważnych sposobów. Na przykład ponieważ wykresy sinusa i cosinusa różnią się tylko fazą (przesunięciem wzdłuż osi poziomej) możemy również zapisać to równanie jako sumę wyłącznie sinusów.
Dokładne wyjaśnienie skąd biorą się równoważne wzory znajdziesz tu.
Są tam również informacje jak obliczyć współczynniki a i b pojawiające się w równaniu.
A oto wspomniane już równoważne formy zapisu naszego wspaniałego wzoru:
